导向矢量
选定参考阵元后，后面阵元接收到的信号比参考阵元晚：
其中c为声速，δ为后续阵元相对参考阵元的间距（针对复杂阵元δ不为定值），θ为信号入射角度，将其反应到信号的相位变化上（假设输入为单频信号）：
由上图可知，对于相对于参考点更晚到达的信号，其t为正值，因此导向矢量中取负相位来表示延后
其中a反应了不同a阵元的空间相位差，即导向矢量，受到以下变量影响：
- 阵元布置结构，影响阵元间距
- 来波方向，影响入射角
- 参考阵元位置，影响其他阵元计算间距，不影响阵元间相对相位差
若多个声源从不同角度入射，则导向矢量变为一个MxN的矩阵，M为阵元个数，N为信号数量
利用导向矢量估计声源入射方向
当入射角未知时，当阵元布置和参考阵元确定时，导向矢量的形式是确定的，且只受到入射角影响，因此可以构造一个方向为α的导向矢量形式的向量（共轭转置）与输入信号做内积计算：
当角度重合时，内积最大
波束形成延迟求和成像
由上一章得知麦克风信号为对参考信号相位分别进行了减法的信号，因此只要对麦克风信号的相位分别进行相反的加法（加权）即可得到原始的信号波形：
因此，在进行某个方向的波束求和时，频率f为变量（f依次变化计算出每个频率上的响应）
（其实原理和上一小节的估计声源方向一样）
综上，对于(θ，φ)方向上，f频率下的功率为：（Y为f下各通道的复信号向量）
为了在今后计算中加以区分，以w代表延时权重，a代表导向矢量，这与clean-sc论文中不同，论文中的w为导向矢量（矩阵），因此本文中w的相位与论文是相反的。
使用交叉谱矩阵
在实际工业场景中，往往不使用上述的单快拍FFT的方法，因为该方法中的Y(f)通常只来源于一段极短的时域信号（DFT的原理，详见数学基础 | 小董的BLOG），也就是单快拍数据。这种约等于瞬时成像的方法容易受到随机噪声的干扰，从而产生一些虚假的声源信息。
因此，我们引入了多快拍计算方法，也就是在一次成像中使用多段时域信号进行计算，我们用一个矩阵表示运算结果：
这个矩阵就是交叉谱矩阵CSM，每个值代表了两个麦克风的相关程度，对角线则为当前麦克风的能量信息（无相位信息，因此在计算中可考虑不使用对角线元素）。其中X_n代表第n个麦克风在某个频率f0下的FFT 复数值。
在原来的单快拍计算中：
当引入CSM后并加入对能量取平均，则有：
因此对于延迟权重向量（矩阵）W，其与单快拍计算中的完全一致，连形状都不用变。
声学橡皮擦（HDR）
当环境中存在多个声源时，较弱的声源容易直接被强声源覆盖，若想显示该弱声源，则可以通过波束形成单独复原强声源波形，再将该波形从麦克风信号中减去。对于该波形的波束形成，有：
需要注意的是，这里与波束形成成像略有不同。此处在对每个通道的麦克风信号分别进行相位对其后，直接将所有通道信号相加再取平均，是最标准的波束形成。相加之后，在(θ，φ)方向上的信号会汇聚（因为对它们的相位进行了对齐），其他方向上的信号则因为相位不一致，最终被弱化。
由于延迟权重w是根据参考阵元计算得到的，因此最终复原的s1波形相位也与参考阵元相同。所有我们如果想在每个通道中都减去s1，就要也把每个通道数据的相位先对齐至参考阵元（其实也还是完全一样的延时操作）：
减去s1后再把每个通道的麦克风数据按照反方向进行相位调整即可得到去除s1的各通道数据：
后续再进行前文中的成像即可，或者也可以直接使用以对齐的Y’进行成像（理论上可以，我没有试过，我是先用Y计算CSM后再计算的功率）
同时，我们也可以单独的对s1进行更清晰的成像，排除弱声源的干扰：
虽然感觉减来减去的有点多此一举，但是论文中确实也是这样写的。理论上对\hat f(s_1)根据延迟情况复制M个直接成像也可以？我懒得试了。总之最重要的是在进行波束形成时务必要通过求和，才可以获得估计的s1，也就是本小节第一个公式，其他的大家可以自由发挥。