位姿描述与变换
姿态描述
对于空间中一个坐标系{B}相对于世界坐标系{W}的姿态，可以通过旋转矩阵R进行表示：
旋转矩阵仅描述当前坐标系相对于世界坐标系的旋转姿态，不包含平移信息，因此可以将旋转矩阵的每一列想象成将原点重合后，当前坐标系X、Y、Z单位矢量在{W}各轴的投影（也就是各轴矢量在{W}下的坐标）。因此也有：
由于这些矢量均为单位向量，因此它们的点积则直接代表了两个矢量夹角的余弦值（矢量点积的性质），但需要注意的是，对于两个坐标系而已，它们之间的互相形成的两个旋转矩阵不是相同的（互为转置）
由于旋转是相对的、可逆的，因此旋转矩阵为一个正交阵（逆等于转置）
坐标系描述
当已知旋转矩阵后，只需知道坐标系{B}原点相对于参考坐标系（还是假设为世界坐标系{W}）的坐标，即可描述坐标系{B}的所有信息：
其中P是坐标系{B}原点在{W}中的坐标向量
因此，一个坐标系可以通过任意另一坐标系表示出来
变换映射
对于{B}中的一个矢量P，若想用参考坐标系{A}将其表示，对于单纯平移，有：
对于单纯旋转，则有：
因此对于一般情况，则有：
其中4x4的T矩阵就是齐次变换矩阵，当只进行旋转或平移时，只需令旋转矩阵为E或平移矩阵为0，0，0即可
注意点
当存在多个坐标系转换时：（注意T的合成是右乘）
其中：
对于旋转映射，有：（注意顺序）
其中需要注意的是，在A齐次变换矩阵中代表平移的映射：
虽然在空间上来看{C}原点在{A}中的坐标矢量感觉就是三个坐标系原点间矢量的首尾相加，但其实对C原点在{A}中的矢量坐标都应该统一到{A}坐标系下进行计算，而
是C原点在{B}下的坐标矢量，其在{A}中的表达还需要乘一个{B}相对于{A}的旋转映射
综上，可以推导出，在多个坐标系变换时，平移映射中只有{A}的下一个坐标系平移映射不需要乘旋转映射，其余所有平移映射都需要乘该坐标系相对于{A}的旋转映射，即：
但一般而言，想要直接得到各坐标系相对参考坐标系{A}的旋转矩阵是比较困难的，所以更常见的写法是：
也就是齐次变换矩阵相乘后平移项的表达
逆变换
对于求其次矩阵的逆变换，对于旋转矩阵，由于其为正交阵，因此直接取转置即可；对于平移算映射，有：
即最终逆变换齐次变换矩阵为：
推广到N个坐标系中时，注意此时旋转算子乘积顺序是反序的
其次变换矩阵的其他定义
对于齐次变换矩阵：
其本身描述了相对于坐标系{A}的{B}，同时其也可以描述不同坐标系中同一个矢量的映射关系
齐次变换矩阵同时也可用于描述矢量单纯的旋转、平移变换，这时其被称为变换算子：
其中R为旋转算子，Q为平移算子；
在多次变换中，对于平移只需要进行加减即可；对于旋转变换，其顺序会影响R的值（虽然最终结果是一样的）：